⏳ Loading example…
⚖️
اختبار t
اختبار t للعينات المستقلة (ويلش) — دواء A مقابل دواء B
قارن درجات الألم بين مجموعتي دواء باستخدام اختبار ويلش. درجات حرية ساترثويت وd=1.02.
📊 t(15) = −2.26, p = .039, d = 1.02
Step-by-step solution
⚖️ ٢ · اختبارات t
٢أ · اختبار t لعينة واحدة: هل وسط الفصل = 75؟
t-test
السؤال البحثي:
متوسط الامتحان الوطني 75. هل تختلف عينة من 10 طلاب عن هذا المعيار؟
المعادلة
$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \quad df = n - 1$$
-
1فرض الفرضيات: H₀: μ = 75 مقابل H₁: μ ≠ 75 (ثنائي الذيل)
-
2$$t = \frac{79.5 - 75}{8.37/\sqrt{10}} = \frac{4.5}{2.646} = 1.700, \quad df = 9$$
-
3القيمة الحرجة عند α=.05، df=9: t* = ±2.262. بما أن |1.700| < 2.262 → نفشل في رفض H₀.
-
4d كوهن (حجم التأثير):$$d = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s} = \frac{79.5 - 75}{8.37} = 0.538 \quad (\text{medium})$$
1.700
t
9
df
.124
p
0.538
Cohen's d
⚪ فشل في رفض H₀ — وسط الفصل (M=79.5) لا يختلف معنوياً عن 75، t(9)=1.70، p=.124.
APA-7
أشار اختبار t لعينة واحدة إلى أن متوسط الفصل (M = 79.50، SD = 8.37) لم يختلف معنوياً عن المعيار الوطني 75، t(9) = 1.70، p = .124، d = 0.54، 95% CI [−1.48، 10.48].
٢ب · اختبار t للعينات المستقلة (ويلش): دواء A مقابل دواء B
t-test
السؤال البحثي:
هل يخفّض الدواء A درجات الألم أكثر من الدواء B؟ (الدرجة الأعلى = ألم أكثر)
| المجموعة | n | الوسط | SD |
|---|---|---|---|
| دواء A | 12 | 4.2 | 1.3 |
| دواء B | 10 | 5.8 | 1.9 |
إحصاءة ويلش
$$t_W = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$
-
1$$SE = \sqrt{\frac{1.3^2}{12} + \frac{1.9^2}{10}} = \sqrt{\frac{1.69}{12} + \frac{3.61}{10}} = \sqrt{0.1408 + 0.361} = \sqrt{0.5018} = 0.7084$$
-
2$$t_W = \frac{4.2 - 5.8}{0.7084} = \frac{-1.6}{0.7084} = -2.258$$
-
3درجات الحرية بصيغة ويلش-ساترثويت:$$df = \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} = \frac{(0.5018)^2}{\dfrac{(0.1408)^2}{11}+\dfrac{(0.361)^2}{9}} \approx 15.7 \approx 15$$
-
4d كوهن:$$d = \frac{|\bar{x}_1 - \bar{x}_2|}{s_p}, \quad s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}} = \sqrt{\frac{11(1.69)+9(3.61)}{20}} = \sqrt{1.554} = 1.567$$$$d = \frac{1.6}{1.567} = 1.021 \quad (\text{large})$$
−2.258
t(Welch)
15
df
.039
p
1.021
Cohen's d
🔴 رفض H₀ — الدواء A يخفّض درجات الألم بشكل معنوي مقارنةً بالدواء B، t(15)=−2.26، p=.039.
APA-7
كشف اختبار ويلش t للعينات المستقلة أن الدواء A (M = 4.20، SD = 1.30) أنتج درجات ألم أقل معنوياً من الدواء B (M = 5.80، SD = 1.90)، t(15.00) = −2.26، p = .039، d = 1.02، 95% CI [−3.11، −0.09].
٢ج · اختبار t للعينات المترابطة: قبل وبعد التدريب
t-test
السؤال البحثي:
هل حسّن برنامج تدريبي درجات أداء نفس الـ 8 موظفين؟
| i | قبل | بعد | الفرق (d) | d − d̄ | (d − d̄)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 60 | 72 | 12 | 2.75 | 7.56 |
| 2 | 55 | 68 | 13 | 3.75 | 14.06 |
| 3 | 70 | 75 | 5 | -4.25 | 18.06 |
| 4 | 65 | 74 | 9 | -0.25 | 0.06 |
| 5 | 58 | 71 | 13 | 3.75 | 14.06 |
| 6 | 72 | 80 | 8 | -1.25 | 1.56 |
| 7 | 63 | 70 | 7 | -2.25 | 5.06 |
| 8 | 68 | 82 | 14 | 4.75 | 22.56 |
| Σ | 81 | 0 | 83.00 |
$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}, \quad \bar{d} = \frac{81}{8} = 10.125, \quad s_d = \sqrt{\frac{83.00}{7}} = \sqrt{11.857} = 3.443$$
$$t = \frac{10.125}{3.443/\sqrt{8}} = \frac{10.125}{1.217} = 8.320, \quad df = n-1 = 7$$
Cohen's d (paired)
$$d = \frac{\bar{d}}{s_d} = \frac{10.125}{3.443} = 2.941 \quad (\text{very large})$$
8.320
t
7
df
<.001
p
2.941
Cohen's d
10.125
متوسط الفرق
🔴 رفض H₀ — التدريب حسّن الأداء بشكل معنوي، t(7) = 8.32، p < .001، d = 2.94.
APA-7
أشار اختبار t للعينات المترابطة إلى تحسن معنوي في الأداء بعد التدريب (M_diff = 10.13، SD_diff = 3.44)، t(7) = 8.32، p < .001، d = 2.94، 95% CI [7.25، 13.00].