⏳ Loading example…
📊
انحدار متعدد
الانحدار المتعدد — التنبؤ بالدرجة من ساعات الدراسة والنوم
انحدار OLS بمنبئين. معاملات β وR²=.973 وF(2,7)=125.2.
📊 R² = .973, F(2,7) = 125.2, p < .001
Step-by-step solution
📊 ١٤ · الانحدار الخطي المتعدد
التنبؤ بدرجة الامتحان من ساعات الدراسة + ساعات النوم
انحدار متعدد
السؤال البحثي:
هل يمكن لساعات الدراسة الأسبوعية (X₁) وساعات النوم الليلية (X₂) معاً التنبؤ بدرجات الامتحان (Y) في عينة من 10 طلاب؟
| الطالب | X₁ (ساعات دراسة) | X₂ (ساعات نوم) | Y (الدرجة) | Ŷ | e = Y−Ŷ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 6 | 58 | 55.3 | 2.7 |
| 2 | 6 | 7 | 64 | 64.7 | −0.7 |
| 3 | 8 | 8 | 72 | 74.0 | −2.0 |
| 4 | 5 | 5 | 55 | 56.1 | −1.1 |
| 5 | 9 | 8 | 78 | 77.4 | 0.6 |
| 6 | 7 | 7 | 70 | 68.1 | 1.9 |
| 7 | 10 | 9 | 85 | 83.4 | 1.6 |
| 8 | 3 | 6 | 52 | 51.9 | 0.1 |
| 9 | 8 | 6 | 68 | 68.9 | −0.9 |
| 10 | 6 | 8 | 65 | 67.2 | −2.2 |
| x̄ | 6.6 | 7.0 | 66.7 |
معادلات مربعات الصغرى (متنبئان)
$$S_{x_1x_1}=44.4,\quad S_{x_2x_2}=14.0,\quad S_{x_1x_2}=18.0$$
$$S_{yx_1}=196.8,\quad S_{yx_2}=97.0$$
$$b_1=\frac{S_{yx_1}S_{x_2x_2}-S_{yx_2}S_{x_1x_2}}{S_{x_1x_1}S_{x_2x_2}-S_{x_1x_2}^2}=\frac{196.8\times14-97.0\times18}{44.4\times14-18^2}=\frac{1009.2}{297.6}=\mathbf{3.39}$$
$$b_2=\frac{S_{yx_2}S_{x_1x_1}-S_{yx_1}S_{x_1x_2}}{297.6}=\frac{764.4}{297.6}=\mathbf{2.57}$$
$$b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}_1-b_2\bar{X}_2=66.7-3.39(6.6)-2.57(7.0)=\mathbf{26.34}$$
$$\hat{Y}=26.34+3.39X_1+2.57X_2$$
| المتنبئ | b | SE | t | p | فترة ثقة 95% | β (std) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| الثابت | 26.34 | 4.18 | 6.30 | <.001 | [17.1, 35.6] | — |
| ساعات الدراسة (X₁) | 3.39 | 0.41 | 8.27 | <.001 | [2.4, 4.4] | .74 |
| ساعات النوم (X₂) | 2.57 | 0.74 | 3.47 | .010 | [0.9, 4.2] | .32 |
R², Adjusted R², F
$$SS_{tot}=942.1,\quad SS_{res}=25.6,\quad SS_{reg}=916.5$$
$$R^2=\frac{916.5}{942.1}=\mathbf{.973},\quad R^2_{adj}=1-\frac{25.6/7}{942.1/9}=\mathbf{.965}$$
$$F(2,7)=\frac{916.5/2}{25.6/7}=\frac{458.3}{3.66}=\mathbf{125.2},\quad p<.001$$
.973
R²
.965
Adj R²
125.2
F(2,7)
<.001
p
✅ نموذج المتنبئَين يفسر 97.3% من التباين. كل ساعة دراسة إضافية تضيف 3.39 درجة؛ كل ساعة نوم إضافية تضيف 2.57 درجة.
APA-7
استُخدم الانحدار الخطي المتعدد للتنبؤ بدرجات الامتحان من ساعات الدراسة وساعات النوم. كان النموذج الكلي ذا دلالة إحصائية، F(2, 7) = 125.2، p < .001، R² = .973، R² المعدّل = .965. كانت ساعات الدراسة (b = 3.39، β = .74، p < .001) وساعات النوم (b = 2.57، β = .32، p = .010) منبئَين معنويَّين.